指數函數
e
z
{\displaystyle e^{z}}
可以定義為
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
在
n
{\displaystyle n}
趨於無窮時的極限。在本動畫中，
z
=
i
π
3
{\displaystyle z={\frac {i\pi }{3}}}
而
n
{\displaystyle n}
選取從1增到100的各種值。
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
的計算顯示為在複平面上
n
{\displaystyle n}
次乘法的組合效果。隨著
n
{\displaystyle n}
變大，這些點趨近於複平面單位圓，覆及
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
弧度的角度。
如同在實數情況下，在複平面的指數函數可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的:
e
z
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
或者序列的極限：
e
z
=
lim
n
→
∞
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}
它带有虚数周期
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
[prove 1]，它可以写为
e
a
+
b
i
=
e
a
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}
这里的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是实数值。参见欧拉公式，这个公式把指数函数和三角函数与指數函数联系起来。
在考虑定义在複平面上的函数的时候，指数函数拥有重要的性质
e
z
+
w
=
e
z
e
w
{\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
e
0
=
1
{\displaystyle \!\,e^{0}=1}
e
z
≠
0
{\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}
d
d
z
e
z
=
e
z
{\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}
(
e
z
)
n
=
e
n
z
,
n
∈
Z
{\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }
对于所有的
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
。
它是周期的全纯函数。我们看到除了多项式的所有初等函数都以某种方式起源于指数函数。
扩展自然对数到復平面上的多值函数
ln
z
{\displaystyle \ln z}
，我们可以接着定义更一般性的指数函数：
z
w
=
e
w
ln
z
{\displaystyle \!\,z^{w}=e^{w\ln z}}
对于所有复数
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
，这也是多值函数，即使是在
z
{\displaystyle z}
為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函數情況下必須改為:
(
e
z
)
w
≠
e
z
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw}}
，而是
(
e
z
)
w
=
e
(
z
+
2
π
i
n
)
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}
多值於整數n 之上。
指数函数把在複平面上任何直线映射到在複平面中以原点为中心的对数螺线。要注意两个特殊情况：当最初的线平行于实轴的时候，结果的螺线永不遮盖（close in on）自身；当最初的线平行于虚轴的时候，结果的螺线是某个半径的圆。
在複平面上指数函数（主支）
z = Re(ex+iy)
z = Im(ex+iy)